ฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร? - Cuemath (2023)

ฟังก์ชันเป็นส่วนพื้นฐานของแคลคูลัสในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ถูกมองเห็นเป็นกฎ ซึ่งให้เอาต์พุตเฉพาะสำหรับทุกอินพุต x การทำแผนที่หรือการแปลงใช้เพื่อแสดงถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเหล่านี้มักจะแสดงด้วยตัวอักษร เช่น f, g และ h โดเมนถูกกำหนดให้เป็นชุดของค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันสามารถป้อนได้ในขณะที่สามารถกำหนดได้ พิสัยคือค่าทั้งหมดที่ออกมาเป็นเอาต์พุตของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง โคโดเมนคือชุดของค่าที่มีศักยภาพที่จะออกมาเป็นเอาต์พุตของฟังก์ชัน ให้เราสำรวจโลกแห่งฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์

ฟังก์ชั่นคืออะไร?

ฟังก์ชันคือกระบวนการหรือความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบ 'a' ของเซตที่ไม่ว่างเปล่า A อย่างน้อยกับองค์ประกอบเดียว 'b' ของเซตที่ไม่ว่างเปล่าอีก B ความสัมพันธ์ f จากเซต A (โดเมน ของฟังก์ชัน) ไปยังอีกเซต B (โดเมนร่วมของฟังก์ชัน) เรียกว่าฟังก์ชันในทางคณิตศาสตร์ ฉ = {(ก,ข)| สำหรับ ∈ A, b ∈ B} ทั้งหมด

• ความสัมพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันถ้าทุกองค์ประกอบของเซต A มีรูปภาพเดียวและมีเพียงรูปเดียวในชุด B
• ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์จากเซต B ที่ไม่ว่าง โดยที่โดเมนของฟังก์ชันคือ A และไม่มีคู่เรียงลำดับที่แตกต่างกันสองคู่ใน f ที่มีสมาชิกตัวแรกเหมือนกัน
• ฟังก์ชันจาก A → B และ (a,b) ∈ f จากนั้น f(a) = b โดยที่ 'b' คือภาพของ 'a' ใต้ 'f' และ 'a' คือส่วนหน้าของ 'b' ใต้ 'ฉ'
• หากมีฟังก์ชัน f: A → B เซต A จะเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน f และเซต B จะเรียกว่าโดเมนร่วม

ตัวอย่างของฟังก์ชั่น

เมื่อใดก็ตามที่เราบอกว่าปริมาณแปรผันยเป็นฟังก์ชันของปริมาณแปรผันxเราหมายถึงว่า:ยขึ้นอยู่กับx; คุณค่าของยถูกกำหนดโดยมูลค่าของx. เราสามารถเขียนการพึ่งพานี้ได้ดังนี้:y = f (x)

1. พื้นที่ของวงกลมสามารถแสดงเป็นรัศมี A = π r². พื้นที่กขึ้นอยู่กับรัศมีร. ในภาษาฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เราว่าอย่างนั้นกคือการทำงานของร.

2. ปริมาณวีของทรงกลมเป็นฟังก์ชันของรัศมี การพึ่งพาอาศัยกันของวีบนรกำหนดโดย V =4/3π r³.

3. อัตราเร่งกของวัตถุที่มีมวลคงที่มเป็นหน้าที่ของแรงเอฟใช้กับร่างกาย: a = F/m

4. พลังปกระจายไปในตัวต้านทานที่มีความต้านทานคงที่รเป็นฟังก์ชันของกระแสฉันผ่านตัวต้านทาน: \(P = {I^2}R\)

5. สมมติว่ารถแท็กซี่คิดเงินดาวน์ 10 ดอลลาร์ และต่อมา 2 ดอลลาร์สำหรับทุกไมล์ที่เดินทาง ค่าแท็กซี่เอฟเป็นฟังก์ชันของระยะทางงเดินทาง และการพึ่งพาระหว่างปริมาณทั้งสองจะได้รับจาก F = 10 + 2d(เอฟอยู่ในสกุลเงินดอลลาร์และงอยู่ในหน่วยไมล์)

การเป็นตัวแทนของฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์

กฎที่ระบุฟังก์ชันสามารถมีได้หลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดฟังก์ชัน พวกเขาสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันที่กำหนดเป็นชิ้นๆหรือเป็นสูตร เมื่อเรานิยาม f(x) = √x สำหรับ x ≥ 0 ข้อมูลเข้าจะเป็นตัวเลขที่เราระบุ และฟังก์ชัน 'กำลังรากที่สอง' จะยอมรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทั้งหมดและรับผลลัพธ์เป็น f(x) ส่วนใหญ่มักจะเป็นสูตรเช่นเดียวกับใน

\(\begin{สมการ*}
ก(x) = \เริ่มต้น{กรณี}
2x & x < 0\\
x^2 & x \geq 0\\
\end{กรณี}
\end{สมการ*}\)

โดยที่โดเมนของ g = จำนวนจริงทั้งหมด

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้ดังนี้:

• ชุดคู่ที่สั่ง
• แผนภาพลูกศร
• แบบฟอร์มตาราง
• แบบฟอร์มกราฟิก

"ฉ(x) = x²" เป็นวิธีทั่วไปในการแสดงฟังก์ชัน กล่าวคือ f ของ x เท่ากับ x กำลังสอง ซึ่งแสดงเป็น f = {(1,1), (2,4), (3,9)}โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันกำหนดให้เป็น D= {1, 2, 3}, R={1,4, 9} นี่คือการแสดงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ในรูปคู่อันดับ

ในตัวอย่างด้านล่าง ตัวอย่างของฟังก์ชันเพียง 1 – 1 และหลายต่อหนึ่งเท่านั้น เนื่องจากไม่มีคู่ลำดับสองคู่ที่มีองค์ประกอบแรกเหมือนกัน และองค์ประกอบทั้งหมดของชุดแรกเชื่อมโยงกัน ดังนั้นเราจึงกล่าวว่าในฟังก์ชันหนึ่งอินพุตสามารถให้ผลลัพธ์เพียงเอาต์พุตเดียวเท่านั้น หากเราได้รับสิ่งใดๆxแล้วมีหนึ่งเดียวเท่านั้นยที่สามารถจับคู่กับสิ่งนั้นได้x. ฟังก์ชันไม่สามารถเชื่อมโยงกับเอาต์พุตสองรายการได้ เส้นโค้งที่วาดในกราฟจะแสดงเป็นฟังก์ชัน จากนั้นจึงแสดงทุกรายการเส้นแนวตั้งตัดเส้นโค้งได้มากสุดเพียงจุดเดียว การทดสอบเส้นแนวตั้งนี้ช่วยให้เราพิจารณาว่าเส้นโค้งเป็นฟังก์ชันหรือไม่

ประเภทของฟังก์ชั่น

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างยิ่งและให้เราศึกษาเรื่องอื่นกันประเภทของฟังก์ชัน. เรามีฟังก์ชันสี่ฟังก์ชันที่อิงตามการจับคู่องค์ประกอบจากเซต A ถึงเซต B

• f: A → B เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือแบบฉีด ถ้าภาพขององค์ประกอบที่แตกต่างกันของ A ใต้ f นั้นแตกต่างกัน กล่าวคือ สำหรับ a, b ทุกตัวใน A, f(a) = f(b) ⇒ ก = ข มิฉะนั้นจะเป็นหลายต่อหนึ่ง
• f: A → B ถูกกล่าวว่าอยู่บนนั้น ถ้าทุกองค์ประกอบของ B คือภาพของสมาชิกบางตัวของ A ภายใต้ f กล่าวคือ สำหรับทุก b ϵ B จะมีองค์ประกอบ a อยู่ใน A โดยที่ f(a) = b . ฟังก์ชันจะเข้าสู่ก็ต่อเมื่อช่วงของฟังก์ชัน = B
• f: A → B เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและเข้าสู่หรือ bijective ถ้า f เป็นทั้งแบบหนึ่งต่อหนึ่งและเข้าสู่

องค์ประกอบของฟังก์ชัน

ให้ f : A → B และ g: B→ C เป็นสองฟังก์ชัน จากนั้นองค์ประกอบของ f และ g จะแสดงเป็น f(g) และถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชัน f \(\circ\) g = f(g(x)) สำหรับ x ∈ A ขอให้เราพิจารณาตัวอย่างของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x) ให้ f(x) = (x+1) และ g(x) = x². จากนั้น f \(\circ\) g = f(x²)

ฉ(x²) = x²+1

ก. \(\วงจร\) ฉ = ก(ฉ(x))

ก.(ฉ(x)) = ก.((x+1))

= (x+1)²= x²+ 2x + 1

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าองค์ประกอบของฟังก์ชันไม่สามารถสับเปลี่ยนได้ f \(\circ\) g ≠ g \(\circ\) ฉ

พีชคณิตของฟังก์ชัน

ที่พีชคณิตของฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับการทำงานของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชัน f(x) และ g(x) โดยที่ f: X → R และ g: X → R โดยที่ x ϵ X เรามี:

• (ฉ+ก) (x) = ฉ(x) + ก(x)
• (ฉ-ก) (x) = ฉ(x) - ก(x)
• (ฉ.ก.) (x) = ฉ(x) .ก.(x)
• (k f(x)) = k (f(x)) โดยที่ k คือจำนวนจริง
• (f/g)(x) = f(x) /g(x) โดยที่ g(x) ≠ 0

ฟังก์ชันกราฟ

ฟังก์ชันประเภทต่างๆ ได้แก่ ฟังก์ชันเอกลักษณ์ ฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันกำลังสองฟังก์ชันลูกบาศก์,ฟังก์ชันรูทคิวบ์, ฟังก์ชันตรรกยะ, ฟังก์ชันโมดูลัส และอื่นๆฟังก์ชันกราฟทำได้โดยการวางตัวแปรอิสระบนแกน x และตัวแปรตามบนแกน y แล้วพล็อตจุดด้วยพิกัด (x,y) ในระนาบคาร์ทีเซียน ทุกจุดบนกราฟเป็นไปตามสมการ y = f(x)

• ฟังก์ชันเอกลักษณ์คือประเภทของฟังก์ชันที่ให้อินพุตเดียวกันกับเอาต์พุต เขียนเป็น f(x) = x โดยที่ x ϵ R ตัวอย่างเช่น f(3) = 3 เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์
• กฟังก์ชั่นคงที่เป็นประเภทของฟังก์ชันที่ให้ค่าเอาต์พุตเท่ากันสำหรับอินพุตที่กำหนด แสดงเป็น f(x) = c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น f(x) = 2 เป็นฟังก์ชันคงที่
• กฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่สามารถแสดงเป็นพหุนามได้ มันแสดงเป็น\(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} +....... + a_{0}x^ {0} \) ตัวอย่างเช่น f(x) = 2x+5 เป็นฟังก์ชันพหุนาม ฉ(x)= x³- 6x²+11x - 6
• กฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่งที่มีกำลังสูงสุด 2 ในฟังก์ชันพหุนาม มันแสดงเป็น,f(x)=a(x-h)²+เค ตัวอย่างเช่น ฉ(x) = x²+ 1 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง รูปต่อไปนี้แสดงโครงเรื่องของฟังก์ชันกำลังสอง
• ฟังก์ชันลูกบาศก์เป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่งที่มีกำลังสูงสุด 3 ในฟังก์ชันพหุนาม เขียนเป็น f(x) = ax³+ ขx²+ cx + d โดยที่ a, b, c, d เป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น ฉ(x) = x³+ 4 เป็นฟังก์ชันลูกบาศก์ รูปต่อไปนี้แสดงพล็อตของฟังก์ชันลูกบาศก์
• กฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่ได้มาจากอัตราส่วนของฟังก์ชันพหุนามสองตัว เขียนเป็น f(x) = P(x)/Q(x) โดยที่ P และ Q เป็นฟังก์ชันพหุนามของ x และ Q(x) ≠ 0 ตัวอย่างเช่น \(f(x) = \frac {x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4}\) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ
• ฟังก์ชันโมดูลัสเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่ให้ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขโดยระบุขนาด เขียนเป็น f(x) = |x| สามารถกำหนดเพิ่มเติมได้เป็น:

\(\begin{สมการ*}
ฉ(x) = \begin{cases}
x & x \geq 0\\
-x & x < 0\\
\end{กรณี}
\end{สมการ*}\)

หมายเหตุสำคัญ

• ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์หมายถึงความสอดคล้องจากค่าหนึ่ง x ของชุดแรก A ไปยังอีกค่า y ของชุดที่สอง B โดยเชื่อมโยงอินพุตกับเอาต์พุต
• ฟังก์ชันในคณิตศาสตร์เป็นส่วนย่อยของความสัมพันธ์
• ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดโดยที่ n(A) = p และ n(B) =q แล้วจำนวนฟังก์ชันทั้งหมดที่มีอยู่จาก A → B คือ q^พี
• กฎพิเศษ: a) ฟังก์ชันจะต้องทำงานกับค่าอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด b) ด้วยค่าอินพุตแต่ละค่า จะต้องมีความสัมพันธ์เดียวเท่านั้น c) ทุกองค์ประกอบในโดเมนของ 'f' มีเพียงรูปภาพเดียว

ให้เราดูตัวอย่างที่แก้ไขแล้วเพื่อดูว่าฟังก์ชันใดในคณิตศาสตร์

☛ ตรวจสอบด้วย:

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ฟังก์ชันลอการิทึม
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
• ฟังก์ชันคู่และคี่

คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

ฟังก์ชั่นในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?

ความสัมพันธ์ f จากเซต A (โดเมนของฟังก์ชัน) ไปยังอีกเซต B (โดเมนร่วมของฟังก์ชัน) เรียกว่าฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์

ส่วนประกอบของฟังก์ชันคืออะไร?

แนวคิดพื้นฐานสามประการที่ช่วยกำหนดฟังก์ชันใดๆ ได้แก่ โดเมน ช่วง และโดเมนร่วม โดเมนถูกกำหนดให้เป็นชุดของค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันสามารถป้อนได้ในขณะที่สามารถกำหนดได้ พิสัยคือค่าทั้งหมดที่ออกมาเป็นเอาต์พุตของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง โคโดเมนคือชุดของค่าที่มีศักยภาพที่จะออกมาเป็นเอาต์พุตของฟังก์ชัน

คุณจะเขียนฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

ฟังก์ชันคือกระบวนการหรือความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบ 'a' ของเซต A กับองค์ประกอบเดี่ยว 'b' ของเซต B อีกอัน ฟังก์ชันจะแสดงเป็น f: A → B "f(x) = x²" เป็นวิธีทั่วไปในการแสดงฟังก์ชัน สำหรับทุกๆ x ที่เป็นค่าอินพุต ฟังก์ชันกำลังสองจะเสร็จสิ้นและเอาต์พุตจะถูกสร้างขึ้น

แนวคิดพื้นฐานของฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร?

ความสัมพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันถ้าทุกองค์ประกอบของเซต A มีรูปภาพเดียวและมีเพียงรูปภาพเดียวในชุด B ฟังก์ชันจะต้องใช้ได้กับค่าอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด และค่าอินพุตแต่ละค่าจะต้องมีความสัมพันธ์เพียงค่าเดียวเท่านั้น ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์จากเซต B ที่ไม่ว่าง โดยที่โดเมนของฟังก์ชันคือ A และไม่มีคู่เรียงลำดับที่แตกต่างกันสองคู่ใน f ที่มีสมาชิกตัวแรกเหมือนกัน

การแปลงฟังก์ชันทำอย่างไร?

การเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกัน ได้แก่ การสะท้อน การแปล การหมุน และการขยาย ทำตามกฎของการแปลงต่างๆ เพื่อค้นหาการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน. ตัวอย่างเช่น f(x+c) เลื่อนกราฟของ f(x) ไปทางแนวนอนไปทางหน่วย c

จะแก้ฟังก์ชันลูกบาศก์โดยใช้ทฤษฎีบทแฟคเตอร์ได้อย่างไร

ถ้า f(x) = ขวาน³+ ขx²+ cx +d และ f(p) = 0 ดังนั้น x-p คือตัวประกอบของฟังก์ชันลูกบาศก์นี้ในทางคณิตศาสตร์

ฟังก์ชันเหตุผลคืออะไร?

ฟังก์ชันตรรกยะคือเศษส่วนพีชคณิตที่มีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนามและตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะ: f(x) = 2x/ (x+1)

จะหาโดเมนของฟังก์ชันตรรกยะได้อย่างไร?

โดเมนของฟังก์ชันตรรกยะประกอบด้วยจำนวนจริง x ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจริงที่มีส่วนเป็น 0 หากต้องการค้นหาค่า x เหล่านี้ที่จะแยกออกจากโดเมนของฟังก์ชันตรรกยะ ให้จัดให้ส่วนเป็นศูนย์แล้วแก้หา x ตัวอย่างเช่น f(y) = y/(y²-25) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ฉ(y) = y/[(y+5)(y-5)] เมื่อเท่ากันกับส่วนเป็นศูนย์ เราจะได้นิพจน์ที่ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ y = -5 และ y =5 ดังนั้นค่าที่แยกออกคือ 5, -5

คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าฟังก์ชันนั้นเข้าสู่?

ฟังก์ชั่นคือเข้าสู่ฟังก์ชันถ้าหากพิสัยเท่ากับโคโดเมน

รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสองคืออะไร?

รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสองคือ f(x)=ax²+bx+c โดยที่ ≠ 0

ตัวอย่างฟังก์ชันในวิชาคณิตศาสตร์มีอะไรบ้าง?

• จำนวนโซดาที่ออกมาจากตู้จำหน่ายขึ้นอยู่กับจำนวนเงินที่คุณใส่
• ปริมาณคาร์บอนที่เหลืออยู่ในฟอสซิลหลังจากผ่านไปหลายปี
• เงินเดือนของบุคคลคือฟังก์ชันของจำนวนชั่วโมงทำงานของบุคคลนั้น
• พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นฟังก์ชันของความยาวของด้าน ก = ก²โดยที่ a คือความยาวของด้าน