เวกเตอร์และสัญลักษณ์ (บทความ) | ข่านอะคาเดมี่ (2023)

เวกเตอร์เป็นส่วนสำคัญของทุกสิ่งที่มีหลายตัวแปร เราใช้มันเมื่อเราต้องการแสดงพิกัดในพื้นที่มิติที่สูงกว่า หรือโดยทั่วไปคือเพื่อเขียนรายการอะไรก็ได้ ในบทความนี้ เราจะอธิบายว่าเวกเตอร์คืออะไร วิธีต่างๆ ในการเขียนเวกเตอร์ และการดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานสามประการ

โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์คือรายการของสิ่งต่างๆ ในแคลคูลัสหลายตัวแปร "สิ่งของ" มักจะลงท้ายด้วยความหมาย "ตัวเลข" แต่ก็ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น เราจะเห็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยตัวดำเนินการอนุพันธ์ เมื่อเราพูดถึงอนุพันธ์หลายตัวแปร ลักษณะทั่วไปนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในบรรทัด

เมื่อเวกเตอร์เป็นเพียงรายการตัวเลข เราสามารถมองเห็นมันเป็นลูกศรในอวกาศได้ ตัวอย่างเช่น เราเห็นภาพเวกเตอร์$(4,2)$(4,2)วงเล็บซ้าย, 4, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวาเหมือนลูกธนูที่มีหางอยู่ที่ต้นทางและปลายอยู่ที่จุดนั้น$(4, 2)$(4,2)วงเล็บซ้าย, 4, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวา. ด้วยเหตุนี้ เราจึงมักไม่แยกแยะระหว่างจุดและเวกเตอร์ในแคลคูลัสหลายตัวแปร

อย่างไรก็ตาม บางครั้งเราวาดเวกเตอร์โดยให้หางอยู่ห่างจากจุดกำเนิด สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเกี่ยวกับเวกเตอร์ มีเพียงจุดที่เราวาดมันเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถวาดเวกเตอร์ได้เช่นกัน$(4,2)$(4,2)วงเล็บซ้าย, 4, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวาเริ่มต้นที่$(0, 2)$(0,2)วงเล็บซ้าย, 0, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวา. ลูกศรทั้งสองสอดคล้องกับเวกเตอร์$(4,2)$(4,2)วงเล็บซ้าย, 4, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวาแม้ว่าหนึ่งในนั้นจะไม่ได้จบตรงจุดก็ตาม$(4,2)$(4,2)วงเล็บซ้าย, 4, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวา.

ด้วยเหตุนี้บางครั้งการเขียนเวกเตอร์ให้เหมือนกับจุดในอวกาศจึงอาจสร้างความสับสนได้ ด้วยเหตุนี้ ผู้คนจึงใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์อื่นๆ ขึ้นมา

มีหลายวิธีในการเขียนเวกเตอร์ นี่คือสามสิ่งที่เราจะใช้มากที่สุดในหลักสูตรนี้ ลูกศรเล็กๆ ที่อยู่ด้านบนของ$\สิ่ง{ใน}$โวลต์v โดยมี เวกเตอร์ อยู่ด้านบนเป็นอนุสัญญาที่ระบุว่า$\สิ่ง{ใน}$โวลต์v โดยมี เวกเตอร์ อยู่ด้านบนหมายถึงเวกเตอร์

สัญกรณ์แรกคือสิ่งที่เราพูดคุยกันก่อนหน้านี้ ในทางเทคนิคแล้ว มันหมายถึงจุด แต่เราใช้มันสลับกันเพื่ออ้างถึงเวกเตอร์ สัญกรณ์นี้ขยายไปยังมิติข้อมูลจำนวนเท่าใดก็ได้

สัญกรณ์ที่สองคือสัญกรณ์เมทริกซ์ ซึ่งเราสามารถขยายเป็นมิติต่างๆ ได้มากเท่าที่เราต้องการ สัญลักษณ์เมทริกซ์มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อเราคิดถึงเวกเตอร์ที่มีปฏิสัมพันธ์กับเมทริกซ์ เราจะหารือกันเมทริกซ์และวิธีเห็นภาพพวกเขาในบทความที่กำลังจะมาถึง

สัญกรณ์ที่สามซึ่งแตกต่างจากสัญกรณ์ก่อนหน้านี้ใช้งานได้เฉพาะในรูปแบบ 2D และ 3D เท่านั้น สัญลักษณ์$\blueD{\hat{\imath}}$ฉัน^สีเริ่มต้น #11accd, \imath, มี, หมวก, ด้านบน, สีท้าย #11accd(ออกเสียงว่า "ฉันหมวก") เป็นหน่วย$x$xxเวกเตอร์ งั้น$\blueD{\hat{\imath}} = (1, 0, 0)$ฉัน^=(1,0,0)สีเริ่มต้น #11accd, \imath, มี, หมวก, ด้านบน, สีท้าย #11accd, เท่ากับ, วงเล็บซ้าย, 1, ลูกน้ำ, 0, ลูกน้ำ, 0, วงเล็บขวา. ในทำนองเดียวกัน$\maroonD{\hat{\jmath}} = (0, 1, 0)$Ō^​=(0,1,0)สีเริ่มต้น #ca337c, \jmath, มี, หมวก, ด้านบน, สีสุดท้าย #ca337c, เท่ากับ, วงเล็บซ้าย, 0, ลูกน้ำ, 1, ลูกน้ำ, 0, วงเล็บขวาและ$\greenD{\hat{k}} = (0, 0, 1)$เค^=(0,0,1)สีเริ่มต้น #1fab54, k, มี, หมวก, ด้านบน, สีสิ้นสุด #1fab54, เท่ากับ, วงเล็บซ้าย, 0, ลูกน้ำ, 0, ลูกน้ำ, 1, วงเล็บขวา. สัญลักษณ์นี้อาจสมเหตุสมผลกว่าเมื่อเราพูดถึงการบวกเวกเตอร์แล้ว

ในหลักสูตรนี้ เรามักจะใช้คำว่า$(1, 2, 3)$(1,2,3)วงเล็บซ้าย, 1, ลูกน้ำ, 2, ลูกน้ำ, 3, วงเล็บขวาสัญลักษณ์ในแบบฝึกหัด เพราะมันช่วยประหยัดพื้นที่เมื่อเราจำเป็นต้องกำหนดตัวแปรหลายตัว วิดีโอใช้การผสมระหว่างสัญกรณ์เมทริกซ์และ$1 \blueD{\hat{\imath}} + 2 \maroonD{\hat{\jmath}} + 3 \greenD{\hat{k}}$1ฉัน^+2Ō^​+3เค^1, สีเริ่มต้น #11accd, \imath, ด้วย, หมวก, ด้านบน, สีสุดท้าย #11accd, บวก, 2, สีเริ่มต้น #ca337c, \jmath, ด้วย, หมวก, ด้านบน, สีสุดท้าย #ca337c, บวก, 3, สีเริ่มต้น #1fab54, k, มี, หมวก, ด้านบน, สีท้าย #1fab54สัญกรณ์

การดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานประการหนึ่งคือการบวก โดยทั่วไป เมื่อใดก็ตามที่เราเพิ่มเวกเตอร์สองตัว เราจะเพิ่มส่วนประกอบที่สอดคล้องกัน:

สิ่งนี้ใช้ได้กับทุกมิติ ไม่ใช่แค่สามมิติ เราเห็นภาพผลรวมได้$\blueD{\vec{a}} + \maroonD{\vec{b}}$ก+ขสีเริ่มต้น #11accd, a, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, สีสิ้นสุด #11accd, บวก, สีเริ่มต้น #ca337c, b, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, สีสิ้นสุด #ca337cเหมือนกับเลื่อนหางของ$\maroonD{\vec{b}}$ขสีเริ่มต้น #ca337c, b, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, สีสุดท้าย #ca337cจนถึงปลายสุดของ$\blueD{\vec{a}}$กสีเริ่มต้น #11accd, a, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, สีสุดท้าย #11accd. นี่คือตัวอย่างในรูปแบบ 2 มิติ

เรามาลองคำถามฝึกหัดกัน

หากคุณต้องการเจาะลึกยิ่งขึ้น เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีทำความเข้าใจการบวกเวกเตอร์ด้วยภาพวิดีโอนี้และได้รับการปฏิบัติด้วยแบบฝึกหัดนี้.

การดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานประการที่สองคือการคูณสเกลาร์ ซึ่งก็คือเมื่อเรายืดหรือย่อเวกเตอร์ สเกลาร์เป็นเพียงคำแฟนซีสำหรับตัวเลข (รากเดียวกับคำว่า scaling) นี่คือตัวอย่างวิธีการทำงาน:

โดยทั่วไป การขยายเวกเตอร์ด้วยตัวเลขหมายถึงการคูณส่วนประกอบของเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยตัวเลขนั้น นั่นหมายความว่า

เรามาลองตัวอย่างกัน

ความหมายตามสัญชาตญาณของการปรับขนาดเวกเตอร์ตามปัจจัย$2$22คือว่าเรากำลังสร้างเวกเตอร์ให้ยาวขึ้นสองเท่า นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

มาตราส่วนตามปัจจัยของ$0.5$0.50, จุด, 5ทำให้เวกเตอร์ยาวขึ้นครึ่งหนึ่ง นี่จะมีลักษณะเหมือนเวกเตอร์ข้างบน$(2, 4)$(2,4)วงเล็บซ้าย, 2, ลูกน้ำ, 4, วงเล็บขวากลายเป็น$(1, 2)$(1,2)วงเล็บซ้าย, 1, ลูกน้ำ, 2, วงเล็บขวาแทนที่จะทำอย่างอื่น

มาตราส่วนตามปัจจัยของ$-1$-1ลบ 1หมายถึงการพลิกทิศทางของเวกเตอร์ เนื่องจากส่วนประกอบแต่ละส่วนจะตรงกันข้ามกับที่เคยเป็น นี่คือตัวอย่างของสิ่งที่ดูเหมือน:

เมื่อเราเห็นภาพเวกเตอร์เป็นลูกศร คำถามปกติที่จะถามอาจเป็น "นานแค่ไหน" ขนาดของเวกเตอร์ตอบคำถามนี้ เราเขียนขนาดของเวกเตอร์ด้วยแท่งคู่ทั้งสองข้าง หรือบางครั้งใช้เพียงแท่งเดียว:$\| \สิ่ง{a} \|$∥ก∥\|, a, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, \|หรือ$| \สิ่งของ{a} |$∣ก∣แถบแนวตั้ง, a, ด้วย, เวกเตอร์, ด้านบน, แถบแนวตั้ง.

เราคำนวณขนาดด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เนื่องจากเราสามารถคิดว่าเวกเตอร์เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมได้ ซึ่งเทียบเท่ากับการใช้สูตรระยะทาง ดังนั้นขนาดของเวกเตอร์$(ก ข)$(ก,ข)วงเล็บซ้าย, a, ลูกน้ำ, b, วงเล็บขวาเป็น$\sqrt{a^2 + b^2}$ก2+ข2​รากที่สองของ, a, กำลังสอง, บวก, b, กำลังสอง, รากที่สองท้าย.

เรามาลองตัวอย่างกัน

ขนาดทำงานได้เหมือนกันในรูปแบบ 3 มิติและในมิติที่สูงกว่า

นอกเหนือจากการบวก การคูณสเกลาร์ และขนาดแล้ว ยังมีการดำเนินการที่สำคัญอีกสองประการระหว่างเวกเตอร์ เหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์ดอทและข้ามผลิตภัณฑ์และเราจะกล่าวถึงสิ่งเหล่านี้ในสองบทความถัดไป